Lost Count: de wiskundige magie van het tellen van curven

Curven tellen, wat doe je op een normale dag? “Veel in de ruimte staren”, lacht Pim Spelier. ‘Als mij wordt gevraagd wat ik precies doe, kan ik niet altijd gemakkelijk antwoorden. Meestal geef ik het voorbeeld van het deeltje dat in de tijd reist.’

Spelier probeert wetten te vinden die altijd van toepassing zijn op de curven die hij bestudeert. Jouw aanpak? Verdeel ingewikkelde ruimtes in kleine, makkelijke ruimtes. Dan kunt u de curven ook opsplitsen in subcurven. De kamers waarin u meetelt, zijn eenvoudiger. Maar rondingen krijgen soms ingewikkelde eigenschappen, omdat je ze ook aan elkaar moet kunnen lijmen. Spelier: “De hoop is om voldoende wetten te vinden om het aantal curven nauwkeurig te bepalen.”

‘Tellen wordt eenvoudiger als u ingewikkelde ruimtes in kleine ruimtes verdeelt‘

Bewijs vinden van punten op curven

Naast de bochten telde Spelier ook punten op de bochten. De vraag is: hoeveel oplossingen heeft een gegeven wiskundige vergelijking? Het gaat hierbij om vergelijkingen die iets ingewikkelder zijn dan één.² +b² = c² van de stelling van Pythagoras. Die vergelijking gaat over de lengtes van de zijden van een rechthoekige driehoek. Als je de vierkanten vervangt door hogere machten, wordt het moeilijker om oplossingen te onderzoeken. Dit verwijst naar oplossingen in hele getallen, bijvoorbeeld 3.² +4² = 5².

Nu is er een methode om die oplossingen te vinden. Wiskundehoogleraar Bas Edixhoven, die in 2022 overleed, ontwikkelde samen met zijn promovendus Guido Lido een alternatieve aanpak voor hetzelfde probleem. Maar het was nog steeds onduidelijk in hoeverre de twee methoden vergelijkbaar en verschillend zijn. Tijdens zijn promotieonderzoek ontwikkelde Spelier een algoritme om dit te onderzoeken.

De eerste persoon met een antwoord.

Het ontwikkelen van dat algoritme is nodig om de methode te kunnen implementeren. Als je het met de hand wilt doen, krijg je pagina’s en pagina’s met vergelijkingen. De methode van Edixhoven maakt gebruik van algebraïsche meetkunde. Met behulp van slimme geometrische trucs kun je precies alle punten op een bepaalde curve berekenen. Spelier heeft aangetoond dat de Edixhoven-Lido-methode beter is dan de oude.

‘Pim beantwoordt een vraag waar wiskundigen zich zorgen over maakten’

David Holmes, hoogleraar Zuivere Wiskunde en begeleider van Spelier, prijst het geleverde bewijsmateriaal. “Als jij de eerste persoon bent die een vraag beantwoordt die iedereen in onze gemeenschap beantwoord wil hebben, is dat heel indrukwekkend. Pim laat zien dat deze twee methoden voor het vinden van rationele punten vergelijkbaar zijn, een vraag die wiskundigen grote zorgen baart.’

samen wiskunde doen

Het leukste aan je promotieonderzoek? Ontmoetingen met je leidinggevende. Na het eerste jaar was het meer samenwerking dan begeleiding, beaamt ook Holmes. Spelier: “Samen rekenen is leuker dan alleen.” Spelier begint in september aan zijn postdoc in Utrecht en is blijkbaar nog niet klaar. Na het tellen van punten en curven, ga je binnenkort ook gebieden tellen.

Pim Spelier verdedigde zijn proefschrift getiteld ‘Tel curven en hun rationale punten.‘. Hij promoveerde cum laude.